APLICACIÓN DEL CUANTIFICADOR «PARA TODO»

Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede pensar en los números 1, 4 y 7 como una colección de objetos y, por lo tanto, forman un conjunto. A cada uno de los objetos individuales se les llama miembro o elemento del conjunto, y se dice que cada miembro del conjunto está en el conjunto o que pertenece al mismo. El conjunto se denota frecuentemente poniendo dentro de llaves la lista de elementos separados por comas. Así, el conjunto que consta de los números 1, 4 y 7 se escribe:

{1, 4, 7}.

Para indicar que el número 4 pertenece a este conjunto, los matemáticos escriben:

4 Î {1, 4, 7},

donde el símbolo Î significa «es miembro de». Del mismo modo, para indicar que 2 no es un miembro de {1, 4, 7}, se escribirá:

2 Ï {1, 4, 7}

Aunque es deseable hacer una lista de todos los elementos de un conjunto, en ocasiones no es práctico, ya que la lista podría ser muy larga. Por ejemplo, imagínese que tuviera que anotarse todos los números infinito de elementos (como conjunto de los números reales que son mayores e iguales que 0), es imposible hacer una lista completa, aunque se tenga toda la intención. Afortunadamente, hay una manera de escribir estos conjuntos «grandes» mediante el uso de lo que se conoce como notación para construir el conjunto (llamada también notación inductiva o por comprensión), en la que se utiliza una descripción verbal y matemática de los miembros del conjunto. Con esta anotación, el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que 0 se escriben como sigue:

S = {números reales x : x ³ 0},

donde los dos puntos «:» significan «tales que». Todo lo que está después de «:» se refiere a la propiedad que define al conjunto.